Geraden


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Geradengleichung

Die Geradengleichung beinhaltet die Steigung und einen Punkt, durch den sie verläuft. Als Punkt wird der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse gewählt, der den Achsenabschnitt festlegt.

\(\quad\) my image

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Die Steigung \(m\) wird berechnet mit

\( \quad f(x) \; = \; \frac{y-\textit{Differenz}}{x-\textit{Differenz}} \; = \; \frac{\Delta y}{\Delta x} \; = \; \frac{3}{5} \)

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Mit dem Achsenabschnitt \(b\) , hin und wieder auch als \(c\) oder \(n\) bezeichnet, wird die allgemeine Geradengleichung in der Form

\( \quad \boxed{f(x) \, = \, mx + b} \)

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geschrieben. Wir erhalten somit die Funktionsvorschrift für die Funktion \(f\) mit

\( \quad f(x) \, = \, \frac{3}{5}x + 2 \)

\(\\[2em]\)

Steigung

Steigung einer Geraden

Zurück zu der Steigung. Wie können wir nun \(\Delta\)x und \(\Delta\)y berechnen? In der Graphik haben wir die beiden Punkte \(P_1 ( 2 | 3{,}2 )\) und \(P_2 ( 7 | 6{,}2 )\).

\(\quad\) my image

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Wir ziehen also die \(x\)-Werte und die \(y\)-Werte der Punkte voneinander ab.

Allgemein sieht es so aus:

\(\quad\) my image

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Mit der obigen Formel für m erhalten wir die allgemeine Steigungsformel

\( \quad \boxed{m \, = \, \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}} \)

\(\\[1em]\)

Steigung einer orthogonalen Geraden

Die Steigung einer Geraden \(g\) , die orthogal, also im \(90^{\circ}\)-Winkel zu der Geraden \(f\) liegt, wird mit

\( \quad m_g \, = \, -\frac{1}{m_f} \)

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berechnet.

\( \quad \begin{array}{ r c l l } m_g & = & -\frac{1}{\frac{3}{5}} & \\[5pt] m_g & = & -1:\frac{3}{5} & \quad \Rightarrow \; mit \; Kehrwert \; multiplizieren \\[5pt] m_g & = & -1 \cdot \frac{5}{3} & \\[5pt] m_g & = & -\frac{5}{3} & \\ \end{array} \)

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Bildlich dargestellt:

\(\quad\) my image

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Hierbei ist zu beachten, dass wir vom Punkt A nach Punkt B laufen. Das heißt, dass wir 5 Einheiten nach unten laufen mit -5 und 3 Einheiten nach rechts laufen mit +3.

Die Steigung von \(g\) ist also der negative Kehrwert der Steigung von \(f\).

\(\\[2em]\)

Steigungswinkel

Steigungswinkel einer Geraden

\(\quad\) my image

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Mit dem Tangens gilt im Steigungsdreieck

\( \quad tan(\alpha) \, = \, \frac{Gegenkathete}{Ankathete} = \frac{3}{5} \)

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Ebenfalls ist

\( \quad m \, = \, \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{3}{5} \)

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Daraus folgt

\( \quad tan(\alpha) \, = \, m \quad \Leftrightarrow \quad \alpha = tan^{-1}(m) \)

\(\\\)

Der Winkel beträgt damit

\( \quad \begin{array}{ *{5}{l} } \alpha & = & tan^{-1}\left(\frac{3}{5} \right) & = & 31^{\circ} \\ \end{array} \)

\(\\[1em]\)

Winkel zwischen 2 Geraden

Ein von 2 Geraden eingeschlossener Winkel \(\gamma\) wird berechnet,

\(\quad\) my image

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indem wir vom Winkel \(\beta\) den \(\alpha\) abziehen.

Im dargestellten Beispiel liegen nun die Geraden \(f\) und \(g\) mit

\( \quad f(x) \, = \, \frac{3}{5}x + 2 \quad \textrm{und} \quad g(x) = \frac{8}{5}x \)

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vor. Es ergibt sich \(\gamma\) mit

\( \quad \begin{array}{ *{3}{l} } \gamma & = & \beta - \alpha \\[5pt] & = & tan^{-1}\left(m_g \right) - tan^{-1}\left(m_f \right) \\[5pt] & = & tan^{-1}\left(\frac{8}{5} \right) - tan^{-1}\left(\frac{3}{5} \right) \\[5pt] & = & 58^{\circ} - 31^{\circ} \\[5pt] & = & 27^{\circ} \\ \end{array} \)

\(\\[2em]\)

Nullstelle einer Geraden

Den Schnittpunkt mit der x-Achse bezeichnet man als die Nullstelle der Geraden.

\(\quad\) my image

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Für alle Nullstellen gilt, das der y-Wert gleich Null ist.

\( \quad Bedingung: \; f(x) = 0 \)

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Wir berechnen die Nullstelle der Funktion

\( \quad f(x) = \frac{3}{5}x + 2 \)

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mit

\( \quad \begin{array}{ r c l l } f(x) & = & 0 & \\[5pt] \frac{3}{5}x + 2 & = & 0 & | -2 \\[5pt] \frac{3}{5}x & = & -2 & | : \frac{3}{5} \\[5pt] x & = & -\frac{10}{3} & \\[5pt] x & \approx & -3{,}3 & \\ \end{array} \)

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Die Nullstelle liegt bei \(N(-3{,}3 | 0)\).

\(\\[1em]\)